순방향 신경망은 입력받아 출력을 산출하는 과정에서 정보는 앞으로 흘러가며 각 층의 은닉 단위로 전파되고 최종적으로 출력층에서 출력이 생성됩니다. 이 과정을 순전파라고 하며, 훈련 중에 이를 반복하여 비용을 계산합니다. 역전파 알고리즘은 이러한 비용에서 나온 정보를 신경망을 따라 거꾸로 흐르게 하여 기울기를 계산합니다.
역전파 알고리즘의 이해
해석적으로 기울기를 계산하는 것은 비교적 수치상으로 평가하는 것은 계산 비용이 많이 들 수 있습니다. 역전파 알고리즘은 간단하면서도 비용이 적게 드는 방법으로 기울기를 계산합니다.
역전파의 범위와 역할
역전파 알고리즘이 다층 신경망의 학습 알고리즘이라고 잘못 이해하는 사람들이 있습니다. 실제로 역전파는 단순히 기울기를 계산하는 방법에 불과합니다. 이러한 기울기를 사용하여 학습을 진행하려면 확률적 기울기 하강법과 같은 다른 알고리즘이 필요합니다.
또한 역전파를 다층 신경망에만 적용된다고 잘못 이해하는 사람들도 있습니다. 이론적으로 역전파 알고리즘은 모든 함수의 미분을 계산할 수 있습니다. 입력은 미분을 구하고자 하는 변수들의 집합이고 출력은 함수의 입력이 될 수 있지만 미분을 구할 필요가 없는 변수들의 집합입니다.
학습 알고리즘에 가장 필요한 기울기는 비용 함수의 매개변수에 대한 기울기입니다. 그러나 기계 학습 과제 중에는 학습이나 분석을 위해 비용 함수의 매개변수 이외의 미분이 필요한 경우도 있습니다. 역전파 알고리즘은 이러한 미분 계산에도 적용될 수 있습니다.
신경망을 통해 정보를 전파함으로써 미분을 계산하는 것은 매우 일반적인 개념이며, 여러 출력을 가진 함수의 야코비 행렬과 같은 값들의 계산에도 적용할 수 있습니다. 하지만 이 문서에서는 함수의 출력이 하나인 경우에만 논의합니다.
역전파 알고리즘의 그래프화
역전파 알고리즘을 더 엄밀하게 설명하고자 한다면 계산을 그래프로 공식화하는 방법이 필요합니다. 계산 그래프는 수학적 계산을 시각적으로 나타내는 방법으로, 노드는 계산이나 변수를 나타내고 에지는 데이터의 흐름을 나타냅니다.
예를 들어, 다층 신경망에서 역전파 알고리즘을 설명하는 경우, 계산 그래프는 다음과 같이 그려질 수 있습니다:
1. 입력 노드: 입력 데이터
2. 은닉층 노드: 가중치와 편향을 사용하여 입력 데이터를 변환하는 과정
3. 출력 노드: 최종 출력을 생성하는 과정
각 노드와 엣지는 연산과 데이터의 흐름을 나타냅니다. 이 그래프를 통해 역전파 알고리즘을 수행할 때 각 노드에서의 미분값을 계산하고, 이를 이용하여 역방향으로 기울기를 전파할 수 있습니다.
더 엄밀한 설명을 위해, 각 노드에서의 연산과 그에 따른 미분값을 명시적으로 나타내고, 각 에지에서의 데이터의 전파를 정확하게 기술해야 합니다. 이러한 계산 그래프를 사용하면 역전파 알고리즘의 각 단계를 명확하게 이해하고 설명할 수 있습니다.
역산과 그래프 공식화
그래프를 공식화하려면 연산이라는 개념을 도입해야 합니다. 연산은 하나 이상의 변수들의 함수를 나타냅니다. 그래프 언어에서는 일반적으로 허용할 수 있는 연산의 집합이 정의되어 있습니다. 이러한 집합에 속하는 연산을 사용하여 그래프를 구성하고, 이러한 연산을 조합하여 더 복잡한 함수를 나타낼 수 있습니다.
예를 들어, 다층 신경망에서는 행렬 곱셈, 활성화 함수(시그모이드, ReLU 등), 손실 함수(평균 제곱 오차, 교차 엔트로피 등) 등의 연산이 사용될 수 있습니다. 이러한 연산을 사용하여 그래프를 구성하고, 각 연산 노드에서는 해당 연산의 수식과 미분값을 계산합니다.
연산을 이용하여 그래프를 공식화하면 역전파 알고리즘을 더욱 명확하게 이해할 수 있습니다. 각 노드에서의 연산과 미분값을 명시적으로 정의함으로써, 역전파 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 더 자세히 파악할 수 있습니다.
연산이 하나의 출력 변수만 반환한다고 해도 일반성이 줄어들지 않습니다. 왜냐하면 해당 출력 변수가 여러 개의 성분으로 이루어질 수 있기 때문입니다.
하지만 여기서는 역전파 알고리즘의 개념을 이해하는 데 중요하지 않은 부차적인 세부 사항에 대해서는 고려하지 않기로 합니다. 따라서 다중 출력 연산에 대해 구체적인 고려는 제외하고, 각 연산이 하나의 출력 변수만 반환한다고 가정하여 설명할 것입니다.
이렇게 함으로써 복잡성을 줄이고, 역전파 알고리즘의 주요 개념을 명확하게 전달할 수 있습니다.
변수에 적용되는 연산은 유향 간선으로 표시됩니다. 때때로 연산의 이름을 출력 노드 쪽에 함께 표기하기도 합니다. 그러나 연산이 명확하게 문맥에서 알 수 있는 경우에는 이러한 이름을 생략할 수 있습니다.
예를 들어, 입력 변수 x에 대해 활성화 함수를 적용하여 은닉층 노드 h를 계산하는 경우, 그래프에서는 유향 간선으로 x에서 h로 연결되며, 출력 노드인 h에는 어떤 활성화 함수를 사용하는지 명시적으로 표기하지 않을 수 있습니다. 왜냐하면 활성화 함수의 종류가 주어진 신경망 구조나 문맥에서 명확하게 알 수 있기 때문입니다.
이와 같은 방식으로, 그래프에서 연산의 이름을 생략하여 가독성을 높이고 불필요한 정보를 줄일 수 있습니다.
미분의 연쇄 법칙(Chain Rule)은 여러 함수를 결합하여 새로운 함수의 미분을 계산하는 규칙입니다. 이는 함수의 복합적인 구조에서 각 함수의 미분을 결합하여 전체 함수의 미분을 계산하는 데 사용됩니다.
역전파(Backpropagation) 알고리즘은 이러한 연쇄 법칙을 기반으로 합니다. 역전파는 신경망의 각 층에서 일어나는 연산의 미분을 효율적으로 계산하고, 이를 역순으로 전파하여 전체 신경망의 손실 함수에 대한 매개변수의 기울기를 구합니다. 이러한 과정은 역순으로 이루어지므로 역전파라고 불립니다.
역전파 알고리즘은 신경망의 구조를 이해하고 각 층에서 일어나는 연산의 미분을 효율적으로 계산하는 데 있어서 매우 효율적입니다. 따라서 학습 과정에서 매개변수의 업데이트에 사용되는 기울기를 효율적으로 구할 수 있습니다.
일반적으로 역전파 알고리즘은 벡터뿐만 아니라 임의의 차원 텐서에도 적용됩니다. 이때 텐서에 대한 역전파 알고리즘은 벡터에 대한 역적파 알고리즘과 개념적으로 정확히 동일합니다. 주요한 차이점은 텐서를 구성하기 위해 수치들을 격자 형태로 배치하는 방식뿐입니다.
일반적으로 텐서에 대한 역전파 알고리즘은 각 텐서를 벡터 형태로 평평하게 펼친 후, 벡터값의 기울기를 계산하고, 이를 다시 텐서 형태로 재조립하는 방식을 따릅니다. 이러한 재배치 접근 방식에서 역전파 알고리즘은 여전히 그냥 야코비 행렬을 기울기 벡터에 곱하여 역전파를 진행합니다.
따라서 텐서에 대한 역전파 알고리즘은 벡터에 대한 역전파 알고리즘과 기본적으로 동일하며, 차원을 다루는 추가적인 절차를 포함합니다. 이러한 절차는 텐서를 효율적으로 처리하고 역전파를 수행하기 위한 것입니다.
추가적인 고려사항
연쇄 법칙을 사용하여 스칼라의 기울기를 구하는 대수식을 유도하는 것은 일반적으로 어려운 작업은 아닙니다. 그러나 이를 실제로 컴퓨터에서 평가할 때에는 고려해야 할 사항들이 많습니다.
1. 수치적 안정성(Numerical Stability): 컴퓨터에서는 부동 소수점 연산을 사용하므로 연산의 순서에 따라 결과가 달라질 수 있습니다. 따라서 연쇄 법칙을 평가할 때 수치적 안정성을 고려하여 순서를 조정해야 합니다.
2. 메모리 사용량(Memory Usage): 대규모 신경망의 경우 수많은 중간 결과를 메모리에 저장해야 할 수 있습니다. 이로 인해 메모리 사용량이 증가할 수 있으며, 이를 최적화하기 위한 방법을 고려해야 합니다.
3. 계산 병목 현상(Computational Bottlenecks): 연쇄 법칙을 평가하는 과정에서 병목 현상이 발생할 수 있습니다. 이는 특히 대규모 데이터셋이나 복잡한 모델에서 더 심각할 수 있습니다. 이를 해결하기 위해 병렬화 기술이나 최적화 기법을 사용할 수 있습니다.
4. 미분의 수치 근사(Numerical Approximation of Derivatives): 실제로는 미분을 해석적으로 구할 수 없는 경우가 많습니다. 따라서 미분을 수치적으로 근사해야 할 수 있으며, 이를 위한 적절한 수치 미분 기법을 선택해야 합니다.
이러한 사항들을 고려하여 연쇄 법칙을 평가하는 코드를 설계하고 구현해야 합니다. 특히 대규모 신경망에서는 성능과 메모리 사용량을 최적화하는 것이 중요합니다.
기울기를 계산하는 과정에서 전체 수식 안에 여러 번 되풀이되는 부분식이 발생할 수 있습니다. 이러한 부분식의 결과를 저장할 것인지, 아니면 매번 다시 계산할 것인지 결정해야 합니다.
복잡한 그래프에서는 반복 계산 사례가 지수적으로 증가하여 연쇄 법칙을 적용하기가 사실상 불가능할 수도 있습니다. 이러한 경우에는 기울기를 효율적으로 계산하는 것이 어려울 수 있습니다.
그러나 때로는 동일한 부분식을 두 번 계산하는 것이 메모리 소비량을 줄이는 유효한 방법일 수 있습니다. 이는 메모리와 계산 시간 간의 트레이드오프에 관련된 문제입니다. 만약 메모리가 충분하고 계산 속도가 중요하지 않은 경우에는 중간 결과를 저장하여 중복 계산을 피할 수 있습니다. 그러나 메모리가 제한적이거나 계산 속도가 우선시되어야 하는 경우에는 중복 계산을 피하기 위해 더 많은 계산 자원을 사용할 수 있습니다.
따라서 기울기를 계산하는 절차를 설계할 때는 이러한 메모리와 계산 시간 간의 균형을 고려하여 최적의 전략을 결정해야 합니다.
역전파 알고리즘의 특징
역전파 알고리즘은 고통의 부분식 개수를 메모리로 고려하지 않고 줄이기 위해 고안된 것입니다. 구체적으로 말하자면, 역전파 알고리즘의 계산 비용은 그래프의 노드당 1회의 야코비 행렬 곱셈을 수행하는 규모입니다. 그래프의 각 노드를 정확히 한 번씩 방문하여 해당 편미분을 구한다는 점을 생각하면 됩니다. 따라서 역전파 알고리즘에서는 반복적 부분식들의 지수적 폭발이 발생하지 않습니다.
이와는 달리, 다른 알고리즘들은 계산 그래프를 단순화하여 부분식들의 평가 횟수를 줄이는 방법을 사용할 수 있습니다. 또한 부분식들의 결과를 저장하는 대신 매번 계산함으로써 메모리를 절약하는 알고리즘도 있을 수 있습니다.
결국, 각 알고리즘은 계산 비용과 메모리 사용량 사이의 균형을 맞추기 위해 다양한 전략을 사용합니다. 역전파 알고리즘은 그래프의 노드당 1회의 야코비 행렬 곱셈을 수행함으로써 효율적인 기울기 계산을 제공하는데, 이를 통해 반복적 부분식들의 폭발을 방지합니다.
결론
순전파와 역전파 알고리즘은 신경망에서 입력부터 출력까지의 정보 전달과 함께 기울기를 효율적으로 계산하여 학습을 가능케 합니다. 역전파는 단순히 기울기를 계산하는 방법에 불과하며, 다양한 함수의 미분을 계산하고 학습 알고리즘에 활용될 수 있습니다. 이를 통해 역전파 알고리즘은 효율적인 기울기 계산과 메모리 사용을 조절하여 신경망의 학습을 가능케 합니다.